Pochodzi z rodziny o szerokich tradycjach muzycznych. Ukończyła z wyróżnieniem Akademię Muzyczną im. Fr. Chopina w Warszawie, w klasie prof. A. Wróbla. Ponadto swoje wiolonczelowe umiejętności pogłębiała u prof. A. Orkisza, R. Jabłońskiego, P. Janowskiego oraz I. Monighettiego. W 2007 r. miała zaszczyt i niewątpliwą przyjemność uczestniczyć w kursach zorganizowanych w Caracas, a prowadzonych przez świetnego wenezuelskiego wiolonczelistę dr Williama Molinę. Na zakończenie kursu, w ramach uznania dla jej talentu i zdolności została przyjęta w poczet członków elitarnej Latynoamerykańskiej Akademii Wiolonczelowej.
Występowała na wielu Festiwalach, u boku wielu znamienitych polskich artystów oraz jako solistka z zespołem Camerata Vistula, z Orkiestrą Kameralną Polskiego Radia „Amadeus” pod dyrekcją A. Duczmal, z Orkiestrą Warszawskiej Opery Kameralnej i Orkiestrą Filharmonii Świętokrzyskiej. Koncertowała w wielu miastach Polski, krajach Europy Środkowej i Wschodniej oraz w Wenezueli, gdzie w 2010 r. wykonała utwór Piotra Wróbla „Moliendo cafe” oparty na wenezuelskich melodiach ludowych. Wykonanie to, wraz z zespołem Camerata Vistula spotkało się z ogromnym aplauzem wenezuelskiej publiczności. Koncert Anny Wróbel w Caracas zaszczycił też dr Jose Antonio Abreu, twórca wenezuelskiego systemu edukacji muzycznej „El sistema”, który pochwalił zarówno kompozycję, jak i wykonanie. „Moliendo cafe” zostało uroczyście zadedykowane dr Jose Antonio Abreu.
Dokonała wielu prawykonań utworów B. Konowalskiego, Z. Bagińskiego, J. Derfla, J. Maksymiuka, P. Wróbla. Również jako pierwsza, od 1868 r. wykonała i, wraz z zespołem Camerata Vistula nagrała dla „Pro Musica Camerata” – utwór polskiego kompozytora Antoniego Stolpego – „Scena dramatyczna” na wiolonczelę i kwintet smyczkowy. Wraz z pianistą M. Rutkowskim nagrała dla firmy „Dux” Suitę na wiolonczelę i fortepian – innego, znakomitego polskiego kompozytora – Aleksandra Kulikowskiego. Anna Wróbel ma na swoim koncie także pierwsze współczesne wykonanie „Fantazji” na wiolonczelę i orkiestrę symfoniczną A. Stolpego oraz „Serenady” na ten sam skład – M. Popławskiego, a także „Suity” Witolda Maliszewskiego na wiolonczelę i kwintet smyczkowy.
Ostatnio, wraz z pianistą Mariuszem Dropkiem nagrała płytę „Les Larmes”, na której znalazły się polskie miniatury wiolonczelowe. Jest to światowa premiera fonograficzna.
Anna Wróbel, wraz z Rodzicami – Andrzejem Wróblem i Elżbietą Piwkowską-Wróbel tworzy Rodzinne Trio Wiolonczelowe, którego koncerty zawsze spotykają się z entuzjastycznym przyjęciem ze strony publiczności. Dla tej formacji powstało wiele utworów takich polskich kompozytorów jak Jerzy Maksymiuk, Jerzy Derfel, Benedykt Konowalski, Piotr Wróbel.
Anna Wróbel prowadzi ożywioną działalność koncertową, grając zarówno w zespołach kameralnych i orkiestrach. Występuje też jako solistka.
Anna Wróbel jest też absolwentką muzykologii w Instytucie Muzykologii Uniwersytetu Warszawskiego.
W roku 2012 Anna Wróbel uzyskała tytuł doktora sztuk muzycznych Uniwersytetu Muzycznego Fryderyka Chopina w Warszawie.
